Yarım Türev

\(f(x)=x^n\) olsun. \(n\in\mathbb Z^+\), \(n{\ge}a\) ve \(a\in\mathbb Z\) olmak üzere:

\(\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{n!}{(n-a)!}x^{n-a}\end{align*}\)

yazılabilir. \(a\) değerini tüm reel sayılarda genelleştirmek için faktöriyel yerine gama fonksiyonunu kullanalım. Gama fonksiyonu:

\(\begin{align*}\Gamma(z)=(z-1)!=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{align*}\)

şeklinde verilir. \(f(x)\) için genelleştirilmiş türevi gama fonksiyonu kullanarak şu şekilde yazabiliriz:

\(\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-a+1)}x^{n-a}\;\;\;\;\;\;a\in\mathbb R,n{\ge}a\end{align*}\)

\(f(x)\) fonksiyonun yarım (\(\frac{1}{2}.\)) türevini bulmak için, \(a\) yerine \(\frac{1}{2}\) koyarsak:

\(\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}x^{n-\frac{1}{2}}\end{align*}\)

elde ederiz.

\(n=2\) içinde türevi hesaplarsak:

\(\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(2+\frac{1}{2})}x^{\frac{3}{2}}\end{align*}\)

\(\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{(\frac{3}{2})(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}\end{align*}\)

\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\) olduğuna göre:

\(\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{8x}{3}\sqrt{\frac{x}{\pi}}\end{align*}\)

elde ederiz.

\(f(x)=x^2\) fonksiyonunun farklı türevlerinin grafiği:

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir