Yarım Türev

$f(x)=x^n$ olsun. $n\in\mathbb Z^+$, $n{\ge}a$ ve $a\in\mathbb Z$ olmak üzere:

$\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{n!}{(n-a)!}x^{n-a}\end{align*}$

yazılabilir. $a$ değerini tüm reel sayılarda genelleştirmek için faktöriyel yerine gama fonksiyonunu kullanalım. Gama fonksiyonu:

$\begin{align*}\Gamma(z)=(z-1)!=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{align*}$

şeklinde verilir. $f(x)$ için genelleştirilmiş türevi gama fonksiyonu kullanarak şu şekilde yazabiliriz:

$\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-a+1)}x^{n-a}\;\;\;\;\;\;a\in\mathbb R,n{\ge}a\end{align*}$

$f(x)$ fonksiyonun yarım ($\frac{1}{2}.$) türevini bulmak için, $a$ yerine $\frac{1}{2}$ koyarsak:

$\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}x^{n-\frac{1}{2}}\end{align*}$

elde ederiz.

$n=2$ içinde türevi hesaplarsak:

$\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(2+\frac{1}{2})}x^{\frac{3}{2}}\end{align*}$

$\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{(\frac{3}{2})(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}\end{align*}$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ olduğuna göre:

$\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{8x}{3}\sqrt{\frac{x}{\pi}}\end{align*}$

elde ederiz.

$f(x)=x^2$ fonksiyonunun farklı türevlerinin grafiği: