Yarım Türev

f(x)=x^n olsun. n\in\mathbb Z^+, n{\ge}a ve a\in\mathbb Z olmak üzere:

\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{n!}{(n-a)!}x^{n-a}\end{align*}

yazılabilir. a değerini tüm reel sayılarda genelleştirmek için faktöriyel yerine gama fonksiyonunu kullanalım. Gama fonksiyonu:

\begin{align*}\Gamma(z)=(z-1)!=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{align*}

şeklinde verilir. f(x) için genelleştirilmiş türevi gama fonksiyonu kullanarak şu şekilde yazabiliriz:

\begin{align*}\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-a+1)}x^{n-a}\;\;\;\;\;\;a\in\mathbb R,n{\ge}a\end{align*}

f(x) fonksiyonun yarım (\frac{1}{2}.) türevini bulmak için, a yerine \frac{1}{2} koyarsak:

\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}x^{n-\frac{1}{2}}\end{align*}

elde ederiz.

n=2 içinde türevi hesaplarsak:

\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(2+\frac{1}{2})}x^{\frac{3}{2}}\end{align*}

\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{(\frac{3}{2})(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}\end{align*}

\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} olduğuna göre:

\begin{align*}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{8x}{3}\sqrt{\frac{x}{\pi}}\end{align*}

elde ederiz.

f(x)=x^2 fonksiyonunun farklı türevlerinin grafiği:

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir