Maclaurin seri açılımı

Maclaurin seri açılımı herhangi bir fonksiyonu polinom şeklinde yazmamızı sağlar.

Bir $f(x)$ fonksiyonumuz olsun. Bu fonksiyonun maclaurin seri açılımını bulalım.

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\dots$

Polinomu bulabilmek için bütün $a_n$ katsayılarını bulmamız gerekir. Burada $a_0$, $f(x)$ fonksiyonunun sabit terimidir. O halde $f(0)$ bize $a_0$ terimini verir.

$a_0=f(0)$

$a_1$ katsayısını bulabilmek için fonksiyonun $1.$ türevini alalım.

$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\dots$

$f'(x)$ fonksiyonunun sabit terimi $a_1$ dir. O halde,

$a_1=f'(0)$

Aynı şekilde işlemleri devam ettirirsek:

$f''(x)=2a_2+3.2a_3x+4.3a_4x^2+\dots$

$\begin{align*}a_2=\frac{f''(0)}{2}\end{align*}$

$f'''(x)=3.2a_3+4.3.2a_4x+\dots$

$\begin{align*}a_3=\frac{f'''(0)}{3.2}\end{align*}$

$\vdots$

$f(x)$ fonksiyonunu bulduğumuz $a_n$ katsayıları ile baştan yazarsak $f(x)$ fonksiyonunun maclaurin seri açılımını bulmuş oluruz.

$\begin{align*}f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3.2}x^3+\frac{f''''(0)}{4.3.2}x^4+\dots\end{align*}$

$\begin{align*}f(x)=\frac{f(0)}{0!}x^0+\frac{f'(0)}{1!}x^1+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f''''(0)}{4!}x^4+\dots\end{align*}$

$\begin{align*}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\end{align*}$