Maclaurin seri açılımı

Maclaurin seri açılımı herhangi bir fonksiyonu polinom şeklinde yazmamızı sağlar.

Bir f(x) fonksiyonumuz olsun. Bu fonksiyonun maclaurin seri açılımını bulalım.

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\dots

Polinomu bulabilmek için bütün a_n katsayılarını bulmamız gerekir. Burada a_0, f(x) fonksiyonunun sabit terimidir. O halde f(0) bize a_0 terimini verir.

a_0=f(0)

a_1 katsayısını bulabilmek için fonksiyonun 1. türevini alalım.

f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\dots

f'(x) fonksiyonunun sabit terimi a_1 dir. O halde,

a_1=f'(0)

Aynı şekilde işlemleri devam ettirirsek:

f''(x)=2a_2+3.2a_3x+4.3a_4x^2+\dots

\begin{align*}a_2=\frac{f''(0)}{2}\end{align*}

f'''(x)=3.2a_3+4.3.2a_4x+\dots

\begin{align*}a_3=\frac{f'''(0)}{3.2}\end{align*}

\vdots

f(x) fonksiyonunu bulduğumuz a_n katsayıları ile baştan yazarsak f(x) fonksiyonunun maclaurin seri açılımını bulmuş oluruz.

\begin{align*}f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3.2}x^3+\frac{f''''(0)}{4.3.2}x^4+\dots\end{align*}

\begin{align*}f(x)=\frac{f(0)}{0!}x^0+\frac{f'(0)}{1!}x^1+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f''''(0)}{4!}x^4+\dots\end{align*}

\begin{align*}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\end{align*}

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir