Maclaurin seri açılımı

Maclaurin seri açılımı herhangi bir fonksiyonu polinom şeklinde yazmamızı sağlar.

Bir \(f(x)\) fonksiyonumuz olsun. Bu fonksiyonun maclaurin seri açılımını bulalım.

\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\dots\)

Polinomu bulabilmek için bütün \(a_n\) katsayılarını bulmamız gerekir. Burada \(a_0\), \(f(x)\) fonksiyonunun sabit terimidir. O halde \(f(0)\) bize \(a_0\) terimini verir.

\(a_0=f(0)\)

\(a_1\) katsayısını bulabilmek için fonksiyonun \(1.\) türevini alalım.

\(f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\dots\)

\(f'(x)\) fonksiyonunun sabit terimi \(a_1\) dir. O halde,

\(a_1=f'(0)\)

Aynı şekilde işlemleri devam ettirirsek :

\(f''(x)=2a_2+3.2a_3x+4.3a_4x^2+\dots\)

\(\begin{align*}a_2=\frac{f''(0)}{2}\end{align*}\)

\(f'''(x)=3.2a_3+4.3.2a_4+\dots\)

\(\begin{align*}a_3=\frac{f'''(0)}{3.2}\end{align*}\)

\(\vdots\)

\(f(x)\) fonksiyonunu bulduğumuz \(a_n\) katsayıları ile baştan yazarsak \(f(x)\) fonksiyonunun maclaurin seri açılımını bulmuş oluruz.

\(\begin{align*}f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3.2}x^3+\frac{f''''(0)}{4.3.2}x^4+\dots\end{align*}\)

\(\begin{align*}f(x)=\frac{f(0)}{0!}x^0+\frac{f'(0)}{1!}x^1+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f''''(0)}{4!}x^4+\dots\end{align*}\)

\(\begin{align*}f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\end{align*}\)

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir