FIR Filtre Katsayılarının Hesaplanması

FIR (Finite Impulse Response) yani sonlu dürtü tepkisi bir dijital filtre türüdür. Giriş değerleri sadece $x[n]$ terimleri içermesinden dolayı yinelemeyen-tekrarlamayan filtre olarak da bilinir.

Alçak geçiren filtrenin frekans domenindeki karşılığı aşağıdaki gibi bir dikdörtgen penceredir.

$\omega_c$ köşe frekansı olmak üzere yukarıdaki dikdörtgen pencerenin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

$\begin{align*}H(\omega)=|H(\omega)|e^{jt\omega}\end{align*}$

$\begin{align*}H(\omega)=\begin{cases}1,\quad|\omega|\leq\omega_c\\0,\quad\omega_c<|\omega|<\pi\end{cases}\end{align*}$

$M$ verinin DFT'sini alıp, bu dikdörtgen pencere ile çarptıktan sonra IDFT'sini alırsak alçak geçiren filtreyi gerçekleştirmiş oluruz. Zaman domeninden frekans domenine ve frekans domeninden zaman domenine geçiş, $M$'nin büyüklüğüne göre yüksek miktarda işlem yükü getirir. Frekans domeninde çarpma işlemi zaman domeninde konvolüsyona denk gelir.

$\begin{align*}\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\cdot H(f)\}=x(t)\ast h(t)=y(y)\end{align*}$

Transfer fonksiyonunun zaman domenindeki karşılığını IDFT ile bulabiliriz:

$\begin{align*}h_d(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi H_d(\omega)e^{jt\omega}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{jt\omega}\,d\omega\end{align*}$

$\begin{align*}h_d(t)=\frac{1}{2\pi}\Bigg[\frac{e^{jt\omega}}{jt}\Bigg]_{-\omega_c}^{\omega_c}=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{jt\omega_c}-e^{-jt\omega_c}}{jt}=\frac{1}{2\pi}\frac{2j\sin(t\omega_c)}{jt}\end{align*}$

$\begin{align*}h_d(t)=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(t\omega_c)}{t}=\frac{\omega_c}{\pi}sinc\bigg(\frac{t\omega_c}{\pi}\bigg)\end{align*}$

$f_c$ köşe (kesim) frekansı, $f_s$ sampling (örnekleme) frekansı olmak üzere $\omega_c=2\pi\frac{f_c}{f_s}$ şeklinde normalize edilir. $\omega_c$ nyquist teoremine göre $[0, \pi)$ arasında değerler alabilir.

$sinc\Big(\frac{t\omega_c}{\pi}\Big)$ fonksiyonu sonsuza uzanan bir fonksiyon olduğunda gerçekleştirilebilir bir filtre yapılamaz. Bunun yerine $h_d(t)$ fonksiyonunu $w(t)$ fonksiyonu ile çarparak kırpalım(pencereleyelim):

$\begin{align*}w[n]=\begin{cases}1,\quad |n|\leq\frac{N}{2}\\0,\quad\text{diger}\end{cases}\end{align*}$

$\begin{align*}h_N[n]=h_d[n]\cdot w[n]\end{align*}$

$\begin{align*}h_N[n]=\begin{cases}\frac{\omega_c}{\pi}sinc\Big(\frac{n\omega_c}{\pi}\Big),\quad |n|\leq\frac{N}{2}\\\quad\quad0,\quad\quad\quad\quad\text{diger}\end{cases}\end{align*}$

Burada $N$ filtrenin derecesini belirtir. $N$ değeri arttıkça frekans tepkisi ideale yaklaşır.

$h_N[n]$ fonksiyonunun $x[t]$ fonksiyonu ile konvolüsyon işlemine sokarsak FIR filtreyi gerçekleştirmiş oluruz.

$\begin{align*}y[n]=\sum_{i=0}^{N}x[n-i]\cdot h[i]\end{align*}$

$\begin{align*}y[n]=\frac{\omega_c}{\pi}\sum_{i=0}^{N}x[n-i]\cdot sinc\bigg[\frac{\omega_c}{\pi}\Big(n-\frac{N}{2}\Big)\bigg]\end{align*}$

Matlab Uygulaması: